Ты мне укажи такую точку X, для которой не существует сколь угодно малого e : tg(X) < tg(X+e)

То, что у тебя здесь написано, не имеет отношения к монотонности. Даже к монотонности в точке.

(Хотя я могу указать, к примеру, точку pi/2.)

ну или, на крайняк, такую точку Y, в которой tg'(Y) < 0

Скажи, почему ты заменяешь определение монотонности на признак, который к тому же пригоден только при условии, что производная существует?

но ты же понимаешь, что тот тангенс, который левее pi/2, и тот, который правее - это не один и тот же тангенс, да?

Они по-разному раскладываются в ряд Тейлора?